একটি পরীক্ষায় ৬০% গণিতে এবং ৭০% ইংরিজেত পাস করে। উভয় বিষয়ে ১৫% ফেল করলে উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন পাস করে?

বিস্তারিত সমাধান:

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য ভেন ডায়াগ্রামের (Venn Diagram) ধারণা অথবা অন্তর্ভুক্তিমূলক-বর্জনীয় নীতি (Principle of Inclusion-Exclusion) ব্যবহার করা যেতে পারে।

দেওয়া আছে:

    
• গণিতে পাস করে = ৬০%
    
• ইংরিজিতে পাস করে = ৭০%
    
• উভয় বিষয়ে ফেল করে = ১৫%

আমরা জানি, মোট শিক্ষার্থী ১০০%।

যদি ১৫% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করে, তাহলে অন্তত একটি বিষয়ে পাস করে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে:

অন্তত এক বিষয়ে পাস = মোট শিক্ষার্থী - উভয় বিষয়ে ফেল শিক্ষার্থী

= \(১০০\% - ১৫\%\)

= \(৮৫\%\)

এখন, আমরা একটি সাধারণ সূত্র ব্যবহার করব যা দুটি সেটের সংযোগ (union) এবং ছেদ (intersection) এর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে:

\(P(\text{A} \cup \text{B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) - P(\text{A} \cap \text{B})\)

এখানে,

    
• \(P(\text{A})\) = গণিতে পাস করা শিক্ষার্থীর শতাংশ = \(৬০\%\)
    
• \(P(\text{B})\) = ইংরিজিতে পাস করা শিক্ষার্থীর শতাংশ = \(৭০\%\)
    
• \(P(\text{A} \cup \text{B})\) = অন্তত এক বিষয়ে পাস করা শিক্ষার্থীর শতাংশ = \(৮৫\%\)
    
• \(P(\text{A} \cap \text{B})\) = উভয় বিষয়ে পাস করা শিক্ষার্থীর শতাংশ (যা আমাদের বের করতে হবে)

মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:

\(৮৫\% = ৬০\% + ৭০\% - P(\text{উভয় বিষয়ে পাস})\)

\(৮৫\% = ১৩০\% - P(\text{উভয় বিষয়ে পাস})\)

এখন, \(P(\text{উভয় বিষয়ে পাস})\) এর জন্য সমাধান করি:

\(P(\text{উভয় বিষয়ে পাস}) = ১৩০\% - ৮৫\%\)

\(P(\text{উভয় বিষয়ে পাস}) = ৪৫\%\)

সুতরাং, উভয় বিষয়ে শতকরা ৪৫ জন পাস করে।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

১. মোট পাস (গণিত + ইংরেজি) = \(৬০\% + ৭০\% = ১৩০\%\)

২. অন্তত এক বিষয়ে পাস = \(১০০\% - ১৫\% (\text{উভয় বিষয়ে ফেল}) = ৮৫\%\)

৩. উভয় বিষয়ে পাস = মোট পাস - অন্তত এক বিষয়ে পাস

= \(১৩০০\% - ৮৫\%\)

= \(৪৫\%\)